求X^3的系数

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/09/22 09:49:34
两道题不会,求大侠指教!
(1) (1+X+X^2)^10 的展开式中X^3的系数
(2) [3X-X^(-1/2)]^12的展开式中X^(-1)的系数
其中第一题我算得2,第二题算到12-X-X/2=-1就算不出来了,我怀疑是答案错了,想请大侠指教,需解题过程.
答案是第一题210，请问是怎么解的？

(1)(1+X+X^2)^10
=[1+(x+x^2)]^10
=1+C(10,1)(x+x^2)+C(10,2)(x+x^2)^2+C(10,3)(x+x^2)^3+C(10,4)(x+x^2)^4+…
C(10,1)(x+x^2)中x^3的系数是0;
C(10,2)(x+x^2)^2=C(10,2)(x^2+2x^3+x^4)中x^3的系数是2C(10,2);
C(10,3)(x+x^2)^3=C(10,3)x^3(1+x)^3中x^3的系数是C(10,3).
显然,展开式第五项及其以后的项中均不含x^.
展开式中X^3的系数是
2C(10,2)+C(10,3)=210.

(2) [3X-X^(-1/2)]^12=1/x^6·[3x^(3/2)-1]^12
对于[3x^(3/2)-1]^12有
T(r+1)=C(12,r)[3x^(3/2)]^(12-r)(-1)^r.
=(-1)^r·3^(12-r)C(12,r)x^[(3/2)·(12-r)]
令(3/2)·(12-r)=5,
解得r=26/3.但是r是自然数,矛盾.
此题无解.

1. C10(3)+C10(2)*C8(1)=120+45*8=480

2. C12(n)[(3x)^n]*[-x^(-1/2)]^(12-n)=C12(n)*(3^n)*(-1)^(12-n)*x^(3n/2-6)
3n/2-6=-1,3n/2=5,n=10/3
无解。

(1) (1+X+X^2)^10 的展开式中X^3的系数是210